Criptografia Aplicada

Hashing, assinaturas digitais e curvas elípticas

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“Sem criptografia, o Bitcoin seria literalmente impossível.” — Hal Finney (Bitcointalk, 2009)

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1. Introdução

O Bitcoin é, em essência, um sistema econômico sustentado por matemática. Não depende de instituições, autoridades ou confiança interpessoal: depende de funções criptográficas que garantem:

• irreversibilidade
• não falsificação
• verificabilidade pública
• propriedade digital
• resistência a ataques

Este capítulo cobre os três pilares criptográficos fundamentais:

1. Funções hash (SHA-256, RIPEMD-160)
2. Assinaturas digitais (ECDSA)
3. Curvas elípticas (secp256k1)

Cada uma cumpre um papel específico dentro do design do Bitcoin.

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2. Hashing criptográfico no Bitcoin

2.1. O que é um hash?

Uma função hash criptográfica é uma transformação:

$$H: {0,1}^* \rightarrow {0,1}^n$$

com as seguintes propriedades:

• Dificuldade de pré-imagem
• Dificuldade de segunda pré-imagem
• Resistência a colisões
• Determinismo
• Eficiência

O Bitcoin utiliza principalmente:

• SHA-256
• RIPEMD-160

E ocasionalmente combinações como SHA-256(SHA-256(x)) (double SHA-256).

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2.2. Propriedades chave aplicadas ao design do Bitcoin

1. Resistência a colisões

Impossibilita encontrar duas mensagens distintas que produzam o mesmo hash.

Isto é essencial para:

• assegurar integridade dos blocos
• evitar reorganizações maliciosas
• garantir unicidade das transações

2. Unidirecionalidade

Não é possível recuperar a informação original a partir de um hash.

Facilita:

• endereçamento sem revelar chaves públicas
• resistência a ataques de gasto futuro
• proteção contra colisões de pré-imagem

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2.3. Hashing nos distintos componentes do sistema

Componente	Algoritmo hash	Propósito
Cabeçalho do bloco	SHA-256d	Provar PoW
Árvore de Merkle	SHA-256d	Adicionar transações
Endereço Bitcoin	SHA-256 + RIPEMD-160	Criar identificadores curtos

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3. Árvores de Merkle: compressão e verificabilidade

As transações dentro de cada bloco são organizadas em uma árvore de Merkle.

3.1. Definição formal

Uma árvore de Merkle é uma estrutura binária onde:

$H_{l1} = SHA256d(tx1)$ $H_{l2} = SHA256d(tx2)$ $H_0 = SHA256d(H_{l1} | H_{l1})$ $H_{l3} = SHA256d(tx3)$ $H_{l4} = SHA256d(tx4)$ $H_1 = SHA256d(H_{l3} | H_{l4})$ $Root = SHA256d(H_{0} | H_{1})$

3.2. Vantagens

• Fornecem provas eficientes de inclusão (provas de Merkle)
• Permitem nós leves (SPV)
• Reduzem a necessidade de armazenamento

Essas provas são fundamentais para dispositivos móveis e clientes leves.

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4. Assinaturas digitais (ECDSA)

4.1. Para que servem?

O Bitcoin utiliza assinaturas digitais para verificar:

• que o proprietário de uma chave privada autorizou uma transação
• que a transação não foi modificada
• que a assinatura é publicamente válida

4.2. Fundamento matemático

Se:

• $d$ = chave privada
• $Q = dG$ = chave pública (ponto na curva)

então a assinatura (r, s) satisfaz:

$r = (kG)_x \mod n$

$s = k^{-1}(H(m) + dr) \mod n$

onde:

• $k$ = número aleatório por assinatura
• $G$ = ponto gerador
• $n$ = ordem do grupo elíptico

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4.3. Segurança

ECDSA é seguro enquanto:

$k \text{ sea único y aleatorio}$

Se for reutilizada, a chave privada pode ser derivada:

$d = \frac{s_1k - H(m_1)}{r} \mod n$

Isto causou hacks em implementações defeituosas no passado.

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5. Curvas elípticas: a base algébrica

O Bitcoin usa a curva elíptica secp256k1.

5.1. Definição matemática

É a curva:

$y^2 = x^3 + 7$

sobre o campo finito:

$\mathbb{F}_p, \quad p = 2^{256} - 2^{32} - 977$

5.2. Propriedades

• curva não aleatória (ao contrário das curvas NIST)
• operações eficientes
• segurança comprovada
• resistente à manipulação estatal (segundo muitos criptógrafos)

5.3. Multiplicação de pontos

A operação fundamental é:

$Q = dG$

onde:

• $d$ = número de 256 bits
• $G$ = ponto gerador
• $Q$ = chave pública

É fácil calcular $Q$, mas praticamente impossível calcular $d$.

Isto se baseia na dificuldade do Problema do Logaritmo Discreto (ECDLP).

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6. Endereços Bitcoin: do hash à representação Base58Check

6.1. Processo completo de geração

$\text{Clave pública} = Q$

$\text{hash160}(Q) = \text{RIPEMD160}(\text{SHA256}(Q))$

Adicionar versão: $00 + hash160$

Calcular checksum: $\text{SHA256d}(00 + hash160)$

Codificar em Base58Check.

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6.2. Exemplo simplificado em pseudocódigo

pub = get_public_key(priv)
h160 = RIPEMD160(SHA256(pub))
payload = 0x00 + h160
checksum = SHA256(SHA256(payload))[:4]
address = Base58Encode(payload + checksum)

7. Segurança criptográfica frente a ataques modernos

7.1. Ataques quânticos

O Bitcoin resiste parcialmente a ataques quânticos:

Função	Risco quântico	Impacto
SHA-256	Baixo	Grover reduz a segurança a 50%
ECDSA	Médio	Shor poderia derivar chaves públicas

Mitigação atual:

• chaves públicas não expostas até serem gastas
• possibilidade futura de mudar de algoritmo

7.2. Ataques de colisão

SHA-256 não apresenta colisões conhecidas.

Colisão implica:

$H(x)=H(y)$

com $x \neq y$

A probabilidade é astronomicamente baixa ($\approx 2^{-256}$).

7.3. Ataques de implementação

Os ataques mais comuns:

• má geração de aleatoriedade
• carteiras defeituosas
• ataques de canal lateral
• hardware comprometido

O Bitcoin como protocolo é seguro; implementações podem não ser.

8. Criptografia aplicada na cadeia de blocos

O Bitcoin utiliza criptografia para assegurar:

Componente	Mecanismo
Integridade dos blocos	Hash SHA-256d
Integridade das transações	Merkle Root
Propriedade digital	ECDSA
Prevenção do gasto em duplicidade	PoW
Identidades pseudônimas	Hash160
Zeros iniciais do bloco	Alvo do PoW (target)

9. Conclusão do capítulo

A criptografia no Bitcoin não é decorativa. É a fonte de:

• segurança
• descentralização
• confiança matemática
• irreversibilidade
• resistência à censura
• propriedade digital

O Bitcoin não funciona porque “todos concordam” com sua validade. Funciona porque a matemática não aceita subornos.

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O Bitcoin não usa criptografia para “ocultar” dados. Usa criptografia para garantir regras econômicas sem intermediários.

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